Решите $\log_x 4 + \log_4 x = 2{,}5$

ОДЗ: $x > 0,\ x \ne 1$.

Используем формулу замены основания: $\log_x 4 = \dfrac{1}{\log_4 x}$.

Замена $t = \log_4 x$ ($t \ne 0$). Уравнение принимает вид:

$$\dfrac{1}{t} + t = \dfrac{5}{2} \iff 2 + 2t^2 = 5t \iff 2t^2 - 5t + 2 = 0.$$

Дискриминант: $D = 25 - 16 = 9$, корни $t = \dfrac{5 \pm 3}{4}$: $t_1 = 2$, $t_2 = \dfrac{1}{2}$.

Возвращаемся:

• $\log_4 x = 2 \Rightarrow x = 16$;
• $\log_4 x = 1/2 \Rightarrow x = 4^{1/2} = 2$.

Оба удовлетворяют ОДЗ. Полезное свойство: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ — отсюда замена через обратное.