ЕГЭ: первообразная через точку

Общий вид первообразной: $F(x) = x^2 + x + C$.

Подставляем условие $F(1) = 5$:

$$1 + 1 + C = 5 \Rightarrow C = 3.$$

Ответ: $F(x) = x^2 + x + 3$.

Проверка: $F'(x) = 2x + 1$ — совпало с $f$. Подстановка: $F(1) = 1 + 1 + 3 = 5$ — верно.

Общая схема: (1) найти общую первообразную с константой $C$; (2) использовать дополнительное условие (точку на графике, значение в точке и т. п.), чтобы найти $C$. Без этого условия первообразная всегда определена с точностью до константы.