Прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(3; 7)$, является касательной к графику $y = f(x)$. Найдите $f'(x_0)$, где $x_0$ — точка касания.
$f'(x_0) = 2$
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания:
$$f'(x_0) = k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{7 - 1}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2.$$
То есть $f'(x_0) = 2$.
Это фундаментальная связь: угловой коэффициент касательной = производная в точке касания. На ЕГЭ часто дают касательную через две точки на координатной плоскости — достаточно посчитать $\Delta y / \Delta x$.
Если касательная горизонтальна — производная равна 0 (точка экстремума или перегиба с горизонтальной касательной).
Razbery — про разбор, не про списывание. Объяснение обязательно.