ЕГЭ: производная функции в точке

Два условия касания:

1. Касание означает равенство значений в точке: $f(1) = -3 \cdot 1 + 5 = 2$, то есть $1 + b + c = 2 \Rightarrow b + c = 1$.

2. Угловой коэффициент касательной равен производной: $f'(x) = 2x + b$, $f'(1) = 2 + b = -3 \Rightarrow b = -5$.

Из второго: $b = -5$, подставляем в первое: $-5 + c = 1 \Rightarrow c = 6$.

Ответ: $b = -5$, $c = 6$.

Два условия касания — это всегда: (а) совпадение значений, (б) совпадение производных. Эта связка решает большинство задач ЕГЭ на касательную.