При каких $a$ прямая $y = a$ пересекает $y = x^3 - 3x$ ровно в трёх точках?

Исследуем $f(x) = x^3 - 3x$:

• $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$;
• критические точки $x = \pm 1$;
• $f(-1) = -1 + 3 = 2$ (максимум);
• $f(1) = 1 - 3 = -2$ (минимум).

График: убывающая ветка слева до $x = -1$, локальный максимум $y = 2$, убывание до $x = 1$ с $y = -2$, далее возрастание.

Горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график в трёх точках, когда она находится строго между локальным минимумом и максимумом: $-2 < a < 2$.

Если $a = \pm 2$ — пересечения две (одна из них — касание в экстремуме). Если $|a| > 2$ — пересечение одно.

Графический метод параметра — мощный приём: рисуем семейство $y = a$ и считаем точки пересечения с фиксированным графиком.