При каком $a$ уравнение $x^2 - 2x + a = 0$ имеет единственный корень?

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один корень (двукратный), когда дискриминант равен нулю: $D = b^2 - 4ac = 0$.

Для нашего уравнения $a_2 = 1,\ b = -2,\ c = a$ (обозначения совпадают, будьте внимательны):

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 4 - 4a = 0 \iff a = 1.$$

Проверка: при $a = 1$ имеем $x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x-1)^2 = 0 \iff x = 1$ — единственный (двукратный) корень.

Запоминайте:

• $D > 0$: два различных корня;
• $D = 0$: один (двукратный) корень;
• $D < 0$: нет действительных корней.