Решите $\sqrt{2x + 3} = x$

Иррациональное уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$$\begin{cases} f(x) = g(x)^2 \ g(x) \ge 0 \ f(x) \ge 0 \end{cases}$$

(условие $f \ge 0$ автоматически следует из первого, но иногда удобно проверять отдельно).

Для нашего уравнения: $\begin{cases} 2x + 3 = x^2 \ x \ge 0 \end{cases}$.

Решаем квадратное: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ или $x = -1$.

Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x = 3$. Проверка: $\sqrt{6 + 3} = \sqrt 9 = 3$ — верно.

Ключ: при возведении в квадрат возможны посторонние корни, поэтому условие $g(x) \ge 0$ (правая часть неотрицательна, ведь корень всегда $\ge 0$) обязательно.