Площадь под $y = x^2$ на $[0; 2]$

Площадь криволинейной трапеции считается через определённый интеграл:

$$S = \int_0^2 x^2,dx.$$

Первообразная: $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$.

Подставляем:

$$S = \dfrac{2^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{8}{3}.$$

Геометрический смысл интеграла — площадь под графиком (если функция неотрицательна). Если функция меняет знак, нужно разбить интеграл на участки и брать модуль на отрицательных участках, иначе получите алгебраическую сумму вместо геометрической площади.