Вычислите $\int_0^1 (2x + 3)\,dx$

По формуле Ньютона—Лейбница $\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)$, где $F$ — любая первообразная.

Находим первообразную: $F(x) = x^2 + 3x$.

Подставляем пределы:

$$F(1) - F(0) = (1 + 3) - (0 + 0) = 4.$$

Геометрический смысл: $\int_0^1 (2x+3),dx$ — площадь трапеции под графиком $y = 2x + 3$ на $[0; 1]$. Проверим: основания $f(0) = 3$ и $f(1) = 5$, высота $1$, площадь $\dfrac{3+5}{2} \cdot 1 = 4$ — совпало.