Найдите производную $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$

По правилу частного $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$, где $u = x$, $v = x^2 + 1$.

• $u' = 1$;
• $v' = 2x$.

$$f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}.$$

Ловушка: знак в числителе. Запоминайте: «минус хвоста» — производная знаменателя умножается на числитель с минусом. И обязательно $v^2$ в знаменателе.

Также эта производная пригодится для исследования: $f'(x) = 0$ при $x = \pm 1$ — экстремумы функции.