Решите $\sin x + \cos x = 1$

Применим метод вспомогательного угла. Умножим и поделим на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt 2$:

$$\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left(\dfrac{1}{\sqrt 2}\sin x + \dfrac{1}{\sqrt 2}\cos x\right) = \sqrt 2 \sin!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right).$$

Уравнение: $\sqrt 2 \sin!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1 \iff \sin!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt 2}$.

Две серии:

• $x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n$;
• $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Полезно помнить общее правило: $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$, где $\tan\varphi = b/a$.