Решите $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Замена $t = \sin x,\ t \in [-1; 1]$: получаем $2t^2 - t - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 1 + 8 = 9$, корни $t = \dfrac{1 \pm 3}{4}$, то есть $t_1 = 1$, $t_2 = -\dfrac{1}{2}$. Оба в интервале $[-1; 1]$.

Возвращаемся:

1. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$.

2. $\sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Важный приём: если уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию — делаем замену и решаем как алгебраическое. Для $\sin x = 1$ всегда одна серия (точка касания экстремума), для прочих значений из $(-1; 1)$ — две серии.