Решите $\log_5(x+2) + \log_5(x-2) = 1$

ОДЗ: $\begin{cases} x + 2 > 0 \ x - 2 > 0 \end{cases} \iff x > 2$.

Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения:

$$\log_5\bigl((x+2)(x-2)\bigr) = 1 \iff (x+2)(x-2) = 5.$$

Раскроем по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = 5$, откуда $x^2 = 9$, $x = \pm 3$.

Проверка ОДЗ: $x = 3 > 2$ — подходит; $x = -3$ нарушает ОДЗ ($-3 < 2$) — посторонний корень.

Ответ: $x = 3$. Главный урок: формула $\log a + \log b = \log(ab)$ расширяет область определения (произведение может быть положительным, даже если каждый сомножитель отрицателен), поэтому ОДЗ обязательно.