Решите уравнение $\log_3(x^2 - 2x) = 1$

ОДЗ: $x^2 - 2x > 0 \iff x(x-2) > 0 \iff x < 0$ или $x > 2$.

По определению логарифма:

$$\log_3(x^2 - 2x) = 1 \iff x^2 - 2x = 3^1 = 3.$$

Получаем квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или дискриминанту: $D = 4 + 12 = 16$, $x = \dfrac{2 \pm 4}{2}$, то есть $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Проверка ОДЗ: $x = 3 > 2$ — годится; $x = -1 < 0$ — годится. Оба корня подходят.

Вывод: оба корня — настоящие. Лайфхак: ОДЗ для $\log_a f(x)$ — это $f(x) > 0$; в нашем случае квадратное неравенство решаем методом интервалов.