Решите уравнение $\log_2(x-1) = 3$

Сначала запишем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.

По определению логарифма $\log_a b = c \iff a^c = b$ (при $a>0, a\ne 1, b>0$). Применим к нашему уравнению:

$$\log_2(x-1) = 3 \iff x - 1 = 2^3 = 8.$$

Отсюда $x = 9$. Проверка ОДЗ: $9 > 1$ — выполнено. Подстановка в исходное уравнение: $\log_2(9-1) = \log_2 8 = 3$ — верно.

Ключевая мысль: при решении логарифмических уравнений всегда сначала выписываем ОДЗ, а в конце проверяем корни — иначе можно получить посторонний корень из-за расширения области.