Уравнение с модулем |x - 3| = 5

Модуль $|a|$ равен расстоянию от точки $a$ до нуля на числовой прямой, поэтому он всегда неотрицательный. Уравнение $|f(x)| = c$ при $c \geq 0$ равносильно совокупности:
$$f(x) = c \quad \text{или} \quad f(x) = -c$$

Для нашего уравнения $|x - 3| = 5$ получаем два случая:

Случай 1: $x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8$.
Случай 2: $x - 3 = -5 \Rightarrow x = -2$.

Проверка. $|8 - 3| = |5| = 5$. $|-2 - 3| = |-5| = 5$. Оба корня подходят.

Геометрическая интерпретация. Уравнение $|x - 3| = 5$ означает: расстояние от точки $x$ до точки $3$ на числовой прямой равно $5$. Таких точек ровно две: $3 + 5 = 8$ и $3 - 5 = -2$.

Важно: если правая часть отрицательная, например $|x - 3| = -5$, то корней нет, потому что модуль не может быть отрицательным.