Сумма арифметической прогрессии: S_20

Существуют две формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \quad \text{и} \quad S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$$

Вторая формула удобна, если $a_n$ ещё не найден. Воспользуемся ей при $a_1 = 5$, $d = 3$, $n = 20$:

$$S_{20} = \frac{2 \cdot 5 + (20 - 1) \cdot 3}{2} \cdot 20 = \frac{10 + 57}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670$$

Проверка через первую формулу. Сначала находим $a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = 62$. Затем:
$$S_{20} = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 670$$

Идея вывода (как у Гаусса): запишем сумму дважды — слева направо и справа налево, сложим. Каждая пара даст одинаковую сумму $a_1 + a_n$, всего пар $n$. Поэтому $2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$.